در این مقاله، ما به اثبات بعضی از قضیه های نقاط ثابت مشترک برای دو نگاشت غیرخطی  در فضاهای متریک M فازی کامل می پردازیم. نتایج اصلی ما، به اصلاح نسخه هایی از چند قضیه نقطه ثابت در فضاهای متریک فازی کامل می پردازد. 

1. مقدمه و دیباچه 

مفهوم مجموعه فازی نخستین بار توسط محققی به نام  زاده در سال 1965 معرفی شد. از آن به بعد، به منظور بکارگیری این مفهوم در توپولوژی (مکان شناسی) و تجزیه و تحلیل، بسیاری از محققان در سطح گسترده ای، تئوری مجموعه های فازی و کاربرد آن را توسعه داده اند. جورج و ورامانی (8) و کراموسیل و میچالک (11) به معرفی مفهوم فضای توپولوژیک فازی از طریق متریک فازی پرداختند که دارای کاربردهای بسیار مهمی در فیزیک ذرات کوانتوم  به ویژه در ارتباط با نظریه بینهایت و رشته بوده که توسط ال- ناشی مطرح و مورد بررسی قرار گرفته است. بسیاری از محققان به اثبات بعضی از قضایای نقاط ثابت مشترک در فضاهای متریک ( احتمال) فازی پرداختند. واسوکی، نسخه فازی قضیه نقاط ثابت مشترک را که دارای شرایط اضافی بوده است، بدست آورد. در واقع واسوکی به اثبات قضیه نقاط ثابت مشترک فازی با تعریف قوی از توالی کُشی پرداخته است ( نکته 3.13 و تعریف 3.15 را مشاهده کنید). 

از طرف دیگر،  داژ به معرفی مفهوم متریک تعمیم یافته و D متریک پرداخته و ادعا می کند که همگرایی D متریک به تعریف توپولوژی هاسدورف پرداخته و D متریک به ترتیب در هر سه متغیر متوالی می باشد. بسیاری از محققان از این ادعاها برای اثبات قضایای نقطه ثابت در فضاهای D متریک استفاده کرده اند، اما متاسفانه ، تقریبا تمام قضایا در فضاهای D متریک معتبر نمی باشند. 

اخیرا، صادقی و همکارانش به معرفی D متریک پرداخته اند که بر مبنای تغییر احتمالی تعریف D متریک توسط داژ بوده و به اثبات خصوصیات اصلی فضاهای D متریک می پردازد. همچنین با استفاده از مفهوم D متریک ، آن ها به تعریف فضای متریک فازی M پرداخته و به اثبات بعضی از قضایای نقطه ثابت مربوطه، برای بعضی از نگاشت های غیرخطی در فضاهای متریک فازی کامل M  پرداختند. 

در این مقاله، ما به اثبات بعضی از قضایای نقاط ثابت مشترک برای دو نگاشت غیرخطی  در فضاهای متریک فازی کامل M می پردازیم. نتایج اصلی ما به اصلاح نسخه هایی از چند قضیه نقطه ثابت در فضاهای متریک فازی کامل می پردازد.